3.2494 \(\int \frac{A+B x}{(d+e x) (a+b x+c x^2)^{7/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=974 \[ -\frac{(B d-A e) \tanh ^{-1}\left (\frac{b d-2 a e+(2 c d-b e) x}{2 \sqrt{c d^2-b e d+a e^2} \sqrt{c x^2+b x+a}}\right ) e^5}{\left (c d^2-b e d+a e^2\right )^{7/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b e d+a e^2\right )^3 \sqrt{c x^2+b x+a}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b e d+a e^2\right )^2 \left (c x^2+b x+a\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (-e b^2+c d b+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2}} \]

[Out]

(2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(5*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) + (2*(8*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a
*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*
A*e^2)) + c*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*
b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*
(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) + (2*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)
+ (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (b*c*d
- b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3
*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*
e^2))) + c*(4*c*e*(b*d - 2*a*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^
2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (2*c*d - b*e)*(8*c*d*e*(b*B*
d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(
5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*(
c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (e^5*(B*d - A*e)*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*
Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.70951, antiderivative size = 974, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.148, Rules used = {822, 12, 724, 206} \[ -\frac{(B d-A e) \tanh ^{-1}\left (\frac{b d-2 a e+(2 c d-b e) x}{2 \sqrt{c d^2-b e d+a e^2} \sqrt{c x^2+b x+a}}\right ) e^5}{\left (c d^2-b e d+a e^2\right )^{7/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b e d+a e^2\right )^3 \sqrt{c x^2+b x+a}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b e d+a e^2\right )^2 \left (c x^2+b x+a\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (-e b^2+c d b+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*x)/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)),x]

[Out]

(2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(5*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)) + (2*(8*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a
*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*
A*e^2)) + c*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*
b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*
(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) + (2*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)
+ (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (b*c*d
- b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3
*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*
e^2))) + c*(4*c*e*(b*d - 2*a*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^
2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))) - (2*c*d - b*e)*(8*c*d*e*(b*B*
d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(
5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))))*x))/(15*(b^2 - 4*a*c)^3*(
c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (e^5*(B*d - A*e)*ArcTanh[(b*d - 2*a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*
Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2)

Rule 822

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
[((d + e*x)^(m + 1)*(f*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*g*(2*c*d - b*e) + c*(f*(2*c*d - b*e) - g*(b*d - 2*a*e))*x
)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[f*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^2*e^2
*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)) - g*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c*d -
b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(g*(b*d - 2*a*e) - f*(2*c*d - b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[m] ||
IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B x}{(d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{7/2}} \, dx &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )-4 c e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x}{(d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}} \, dx}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{4 \int \frac{\frac{1}{4} \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )+c e \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x}{(d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{8 \int \frac{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 e^5 (B d-A e)}{8 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{\left (e^5 (B d-A e)\right ) \int \frac{1}{(d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{\left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{\left (2 e^5 (B d-A e)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c d^2-4 b d e+4 a e^2-x^2} \, dx,x,\frac{-b d+2 a e-(2 c d-b e) x}{\sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{\left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}}+\frac{2 \left (8 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )+c \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )-(2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (4 b c d-3 b^2 e+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 b^2 e (B d-A e)-8 b c d (B d+A e)+4 c \left (4 A c d^2-a B d e+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{15 \left (b^2-4 a c\right )^3 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{e^5 (B d-A e) \tanh ^{-1}\left (\frac{b d-2 a e+(2 c d-b e) x}{2 \sqrt{c d^2-b d e+a e^2} \sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{\left (c d^2-b d e+a e^2\right )^{7/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 6.27546, size = 1120, normalized size = 1.15 \[ -\frac{2 \left (-\frac{2 \left (4 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\frac{1}{2} \left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )+c \left (4 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\frac{1}{2} (2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{3/2}}-\frac{2 \left (\frac{15 \left (b^2-4 a c\right )^2 e^5 (B d-A e) \tanh ^{-1}\left (\frac{-b d+2 a e-(2 c d-b e) x}{2 \sqrt{c d^2-b e d+a e^2} \sqrt{c x^2+b x+a}}\right )}{\sqrt{c d^2-b e d+a e^2} \left (4 c d^2-4 b e d+4 a e^2\right )}-\frac{2 \left (-a c e (2 c d-b e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )+\frac{1}{4} \left (-e b^2+c d b+2 a c e\right ) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )+c \left (\frac{1}{4} (2 c d-b e) \left (8 c d e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) \left (-3 e b^2+4 c d b+4 a c e\right )+\left (8 c^2 d^2-3 b^2 e^2-4 c e (b d-3 a e)\right ) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )-c e (b d-2 a e) \left (8 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (5 e (B d-A e) b^2-8 c d (B d+A e) b+4 c \left (4 A c d^2-a B e d+5 a A e^2\right )\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) \sqrt{c x^2+b x+a}}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right )}\right ) \left (c x^2+b x+a\right )^{7/2}}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) (a+x (b+c x))^{7/2}}-\frac{2 \left (-a B (2 c d-b e)+A \left (-e b^2+c d b+2 a c e\right )+c (A (2 c d-b e)-B (b d-2 a e)) x\right ) \left (c x^2+b x+a\right )}{5 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b e d+a e^2\right ) (a+x (b+c x))^{7/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*x)/((d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)),x]

[Out]

(-2*(-(a*B*(2*c*d - b*e)) + A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(-(B*(b*d - 2*a*e)) + A*(2*c*d - b*e))*x)*(a + b*x
+ c*x^2))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + x*(b + c*x))^(7/2)) - (2*(a + b*x + c*x^2)^(7/2)*((-2
*(4*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e)
- 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))/2 + c*(4*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d +
A*b*e - 2*a*B*e) + ((2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*
A*e^2)))/2)*x))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) - (2*((-2*(-(a*c*e*(2*c*d -
b*e)*(8*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(
B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))) + ((b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d +
A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d - 3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d
- A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))))/4 + c*(-(c*e*(b*d - 2*a*e)*(8*c*e*(b*d
- 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e) + 4*c
*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2)))) + ((2*c*d - b*e)*(8*c*d*e*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*(4*b*c*d -
3*b^2*e + 4*a*c*e) + (8*c^2*d^2 - 3*b^2*e^2 - 4*c*e*(b*d - 3*a*e))*(5*b^2*e*(B*d - A*e) - 8*b*c*d*(B*d + A*e)
+ 4*c*(4*A*c*d^2 - a*B*d*e + 5*a*A*e^2))))/4)*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2
]) + (15*(b^2 - 4*a*c)^2*e^5*(B*d - A*e)*ArcTanh[(-(b*d) + 2*a*e - (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*
e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*(4*c*d^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2))))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(
c*d^2 - b*d*e + a*e^2))))/(5*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(a + x*(b + c*x))^(7/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.014, size = 5461, normalized size = 5.6 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((B*x+A)/(e*x+d)/(c*x^2+b*x+a)^(7/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)/(c*x^2+b*x+a)^(7/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)/(c*x^2+b*x+a)^(7/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)/(c*x**2+b*x+a)**(7/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)/(c*x^2+b*x+a)^(7/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out